Progetto di un edificio antisismico
Gli edifici progettati per resistere ai terremoti devono avere delle frequenze proprie di vibrazione che non siano vicine alla frequenza di oscillazione dei movimenti del suolo.
Le frequenze naturali di un edificio sono determinate principalmente dalle masse dei suoi piani e dalla rigidità dei suoi pilastri (che agiscono come molle orizzontali).
Queste frequenze possono essere calcolate trovando le radici di uno speciale polinomio chiamato polinimio caratteristico della struttura.
La figura mostra in modo accentuato gli spostamenti della struttura di un edificio di tre piani.
Se ogni piano di questo edificio ha una massa m e i pilastri hanno rigidità k, il polinomio caratteristico della struttura è il seguente:
f6-5αf4+6α2f2-α3=0
dove
α=k/(4mπ2)
Le frequenze naturali dell'edificio in cicli al secondo sono le radici positive di questa equazione.
Si vogliono determinare le frequenze naturali dell'edificio in cicli al secondo nel caso in cui m=4000 Kg e k = 5*106 N/m (Newton su metro).
Il codice da inserire in un m-file per il calcolo delle radici è il seguente:
clear
k = 5e6;
m = 4000;
alfa = k/(4*m*pi^2);
p = [1 0 -5*alfa 0 6*alfa^2 0 -alfa^3];
frequenze = roots(p)
una volta eseguito, l'output è:
frequenze =
-10.1395
10.1395
-7.0167
7.0167
-2.5042
2.5042
le frequenze naturali dell'edificio sono quindi 10.1, 7.0 e 2.5 cicli al secondo.
Esercizio P.6
Con riferimento all'esempio appena visto, un edificio ha i solai di massa m = 5000 kg.
Si stanno valutando 3 tipi di pilastri, rispettivamente con rigidità k1 = 4*106 N/m, k2 = 5*106 N/m e k3 = 6*106 N/m.
Utilizzare Matlab per rispondere alle seguenti domande:
- In quale caso si ha la frequenza naturale più bassa?
- In quale caso si ha la frequenza naturale più alta?
- In quale caso si ha il più piccolo intervallo di variazione delle frequenze naturali?