Ottimizzazione di un canale di irrigazione (esercizio difficile)
In figura sono riportati alcuni esempi di sezione di un canale di irrigazione che si vorrebbe realizzare:
Un'analisi preliminare ha dimostrato che per trasportare il flusso di acqua desiderato l'area della sezione dovrebbe essere 100 m2.
Scopo dell'analisi è ridurre al minimo il costo del cemento richiesto per realizzare il canale, occorre quindi ridurre al minimo il perimetro del canale e quindi trovare i valori di d, b e Θ che risolvono il problema.
La lunghezza del perimetro L ricoperto di cemento può essere scritta in funzione della base b, dell'altezza d e dell'angolo Θ nel seguente modo:
L = b + 2d/sin(Θ)
mentre l'area della sezione trapezoidale è data da:
100 = bd + d2/tan(Θ)
Risolvendo quest'ultima equazione in funzione di b si trova
b = 1/d ( 100 - d2/tan(Θ) )
e sostituendo questa espressione nell'equazione del perimetro ricoperto di cemento si ottiene.
L = 100/d - d/tan(θ) + 2d/sin(θ)
Esercizio G3.1
Determinare qual è la forma ottimale del canale.
Attenzione: d deve essere positivo, così come Θ può avere valori compresi tra π/2 (parete laterale verticale) e 0 (che corrisponderebbe ad una parete laterale orizzontale di lunghezza infinita, quindi il valore non è accettabile).